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笛卡尔是17世纪着名的哲学家、数学家和自然科学家,他在力学、天文学、光学、生物学、生理学和心理学等许多科学领域都作出极大的贡献。在世界数学史上,他更是解析几何学的奠基者。

1.极限的概念

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金沙网站手机版,笛卡尔 解析几何学的奠基者

时间:2017-10-12 14:29:42编辑:梓岚

笛卡尔是17世纪着名的哲学家、数学家和自然科学家,他在力学、天文学、光学、生物学、生理学和心理学等许多科学领域都作出极大的贡献。在世界数学史上,他更是解析几何学的奠基者。

在解析几何学尚未涎生的2000多年里,数学史上关于立法倍积、三等分角、化圆为方这三个几何问题一直困扰着世世代代的数学家,不少人为此呕心沥血,穷毕生精力也找不到答案。

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笛卡尔在认真总结了前人的大量经验教训后,认为这三大几何难题无论用尺还是用规,都不是好的解决办法,必须从根本入手,另找
一条道路。在偶然的一
个机会,笛卡尔从蜘蛛织网纵横交错的直线和四周的圆线交叉中找到灵感,想到了“形”和“数”的问题。

经过研究,他发现如果在平面上画出两个平行的直线,假定这两条线成直角,那么就出现四个90°的直角,在这四个角的任一个点上设个位置,就可以建立起点的坐标系。这个简单的基本概念在
现代人看来似乎一目了然,但在当时,却是数学史上最伟大的发现之一。

简单地说,这个发现建立了平面上的—为坐标与数
之间的和一一对关系,步构成了平面上点与曲线之间的一一对应关系,从而把数学的两大形态,即“形”与“数”结合了起来,不仅如此,笛卡尔还用代数方程描述几何图形,用几何图形表示代数方程的计算结果。于是,数学史上从此诞生了用代数方法解决几何问题的一们崭新学科——解析几何。

伺候,笛卡尔出版了专门论述解析几何原理的数学论着——《几何学》,书中他详细论述了坐标的建立,曲线与直线的关系,并强调人们必须运用数学的方法去透视事物的本质。

在解析几何学尚未涎生的2000多年里,数学史上关于立法倍积、三等分角、化圆为方这三个几何问题一直困扰着世世代代的数学家,不少人为此呕心沥血,穷毕生精力也找不到答案。

2.平面解析几何与一元函数微积分

笛卡尔 (图片来自网络)

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2.1 平面解析几何

解析几何学(analytic
geometry)是借助坐标系,用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何分支,亦叫做坐标几何.解析几何的实质在于变换——求解——反演的特性,即首先把一个几何问题变为一个相应的代数问题,然后求解这个代数问题,最后反演代数解而得到几何解.因此,当代数学方法和代数学符号得到充分发展以后,解析几何才能具有高度实用的形式,这一阶段是17世纪完成的.但解析几何的一些基本思想,如用坐标确定点的位置,因变量对自变量的依赖关系等,却可以上溯至更早的年代.

笛卡儿创立解析几何的思维构想,在于他采取了不同于欧几里得传统的全新思路.他从解决几何作图问题出发,运用算术术语,巧妙地引入了变量思想和坐标观念,并用代数方程表示曲线,然后再通过对方程的讨论来给出曲线的性质.其要旨是把几何学的问题归结为代数形式的问题,用代数学的方法进行计算、证明,从而达到最终解决几何问题的目的,即几何代数化的方法.他的基本思想是借助坐标法,把反映同一运动规律的空间图形(点、线、面)同数量关系(坐标和它们所满足的方程)统一起来,从而把几何问题归结为代数问题来处理,运用这种坐标法,可以研究比直线和圆复杂得多的曲线,而且使曲线第一次被看成动点的轨迹.从此,由曲线或曲面求它的方程,以及由方程的讨论研究它所表示的曲线或曲面的性质,就成了解析几何学的两大基本问题.为纪念笛卡尔为数学发展所作的贡献,我们也把直角坐标系称为笛卡尔坐标系,把直角坐标系所表示的平面称为笛卡尔平面.

在解析几何中,首先是建立坐标系.取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线,叫做平面上的一个直角坐标系xoy.利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系.除了直角坐标系外,还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等.在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标.

坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系,这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了.用这种方法研究几何学,通常就叫做解析法.这种解析法不但对于解析几何是重要的,就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的.

解析几何的创立,引入了一系列新的数学概念,特别是将变量引入数学,使数学进入了一个新的发展时期,这就是变量数学的时期.解析几何在数学发展中起了推动作用.
恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了

具体地说,平面解析几何的基本思想有两个要点:第一,在平面建立坐标系,一点的坐标与一组有序的实数对相对应;第二,在平面上建立了坐标系后,平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了.从这里可以看到,运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决,而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来.

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平面几何

     
解析几何,又叫坐标几何,或笛卡尔几何,是运用代数方法研究几何问题,或用几何方法研究代数问题的一门数学。通常,使用二维或三维的直角坐标系,建立点与实数对之间的一一对应关系,以及曲线与方程之间的一一对应关系。

笛卡尔在认真总结了前人的大量经验教训后,认为这三大几何难题无论用尺还是用规,都不是好的解决办法,必须从根本入手,另找
一条道路。在偶然的一
个机会,笛卡尔从蜘蛛织网纵横交错的直线和四周的圆线交叉中找到灵感,想到了“形”和“数”的问题。

2.2 导数以及求导法则

     
1637年,笛卡尔在其著作《方法论》的三篇附录之一“几何学”中提出了解析几何的基本方法。这种方法对几何学来说是革命性的。首先,使用代数技巧来解决几何问题,这意味着数与形统一起来了,代数方法与几何方法第一次真正结合了。其次,数学家们有了一种选择,可以将几何学视为代数学的一个分支了。而这个革命性的新进路据说是由一只苍蝇引发的灵感,这则轶事在齐斯·德福林的《数学的语言》一书中有记载。

经过研究,他发现如果在平面上画出两个平行的直线,假定这两条线成直角,那么就出现四个90°的直角,在这四个角的任一个点上设个位置,就可以建立起点的坐标系。这个简单的基本概念在
现代人看来似乎一目了然,但在当时,却是数学史上最伟大的发现之一。

2.3 微分中值定理与导数的应用

     
众所周知,笛卡尔身体虚弱,容易生病,非常喜欢躺在床上。1619那个寒冷的冬季,对数学兴趣正浓的笛卡尔,躺在床上翻来覆去地思考问题时,一只在天花板上爬行的苍蝇引起了他的注意。注视着这只苍蝇爬来爬去,笛卡尔领悟到它在任一时刻的位置,都可以用它那一时刻与两面垂直墙面的距离来确定。就这样笛卡尔找到了用代数方程描述苍蝇的爬行路径的方法,同时也找到了一种表现直线和曲线的新方法。这种代数方法,虽然完全不同于古希腊人所提出的几何论证,但却不会将几何研究变成代数课题,也就是说结果依然是几何,只不过是利用代数技巧来研究形状的模式而已。

简单地说,这个发现建立了平面上的—为坐标与数
之间的和一一对关系,步构成了平面上点与曲线之间的一一对应关系,从而把数学的两大形态,即“形”与“数”结合了起来,不仅如此,笛卡尔还用代数方程描述几何图形,用几何图形表示代数方程的计算结果。于是,数学史上从此诞生了用代数方法解决几何问题的一们崭新学科——解析几何。

2.4 不定积分

     
 我们知道,科学主要是通过替代来发展,而数学主要通过沉淀而成长,但解析几何的建立虽然也是站在巨人的肩膀上,不过这些巨人距离笛卡尔的时代有些远,正如博耶教授所说:“乃是由一次试图回归过去的努力所激发的。”要记得,《几何学》只是笛卡尔的《方法论》中的一篇附录。而笛卡尔最重要的影响,除了建立了解析几何,就是对方法论的反思了。

伺候,笛卡尔出版了专门论述解析几何原理的数学论着——《几何学》,书中他详细论述了坐标的建立,曲线与直线的关系,并强调人们必须运用数学的方法去透视事物的本质。

2.5 定积分

     
在17世纪那个新旧知识交替的时代,为了在一片混乱中求得确定性,笛卡尔开启了“普遍怀疑”的模式,并把目光转向了他所擅长的数学。笛卡尔想要建立一种普遍数学,把代数、几何、算术统一起来。正是在这种“追本溯源”的“普遍”模式下,笛卡尔注意到了帕普斯的三线或四线轨迹问题。所谓的“三线或四线轨迹问题”也就是说,给定一个平面上的三条直线(或四条直线),求出点P的轨迹,它与其中一条直线的距离跟它与另外两条直线的距离之积成比例(或者,在四条直线的情况下,它与其中两条直线的距离之积跟它与另外两条直线的距离之积成比例)。其实,三线或四线轨迹不仅充当了发明解析几何的起跑点,而且,从欧几里得到牛顿,它都在数学中扮演了一个重要的角色。

解析几何的诞生,直接改变了从古希腊以来代数与几何的分离局面,从而推动了数学的巨大发展。解析几何最重要的贡献在于,它提供了当时科学发展波切需要的数学工具。

2.6 微分方程

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17世纪是资本主义迅速发展的时期,当时的天文和航海等科学技术对数学都提出了新的要求,例如要确定船只在海上的方位,就要确定经纬度;要改善枪炮的性能,就要精确地掌握抛射体的运动规律。这些问题涉及到的已不是常量而是变数,而解析几何则解决了这些难题。

3.空间解析几何与多元函数微积分

图片来自《数学史》

当然,笛卡尔的贡献远远不止于此,他最出名的主张为“身心二元论”,即“我思故我在”。作为新时代的哲学家,他以理性注意去反对中世纪经院哲学的信仰主义,提出了数学的演绎法和天赋观念说,以近代理性主义的创始人而垂名世界文化史,更被黑格尔成为“现代哲学之父”。

3.1 空间几何

     
虽然笛卡尔建立了解析几何,但解析几何的迅速发展却主要是通过荷兰的数学家——弗兰斯·范·斯霍滕(1615-1660)——及其他的弟子才得以发生的。笛卡尔的《几何学》最初是用法文,而不是当时学者的通用语言拉丁文写成的,虽然一切有学问的人都可以通读,但是要知道,笛卡尔是天才,他无法体会别人在理解他那些新且深奥的思想上所遇到的困难,尤其是他的阐述并不清晰。当斯霍滕在1649年出版拉丁文版的《几何学》,并加入了一些补充材料,这些障碍才被克服。另外,斯霍滕的两卷本的《笛卡尔的几何学》在1659-1661年出版,内容上有了极大的扩充,其中收录了著名的荷兰省三级议会大议长让·德·维特(1629-1672)在1658年撰写的《曲线原理》。这是一部对解析几何贡献非常广泛的作品。“作品的目的是要通过坐标轴的平移和旋转,把所有以x和
y
为未知数的二次方程简化为公认的形式。他知道如何根据所谓的判别式究竟是负数、是零,还是正数,来识别这样一个方程所描绘的曲线是何时是一个椭圆、抛物线、双曲线。”(《代数史》
P403)

3.2 多元函数微分

     
其实,笛卡尔阐述不清晰的不仅是解析几何,还有“身心二元论”。正如苏炳森老师所说,这是笛卡尔给我们带来的“第二个灾难”。苏老师说“虽然笛卡尔给人的感觉是上帝中心论,认为上帝是一切知识的保障,但他方法的开端是“我思”,也就是说从一开始人就是中心。尽管笛卡尔是天主教的背景,把上帝放在第一位,但他已经开启了人的优先性,所以,其本质上还是自然神学,得出的还是一种单纯的、不变的、抽象的、思维上的上帝,与托马斯·阿奎那差不多。”所以,就像德国神学家潘能伯格所说,笛卡尔就成了“一种人类中心主义的、建立在“我思”之上的哲学的创始人。”
( 《神学与哲学》 P174)

3.3 多元函数积分

     
另外,笛卡尔给人类带来的第一个灾难就是他的数学性的方法论。帕斯卡尔曾抨击笛卡尔的数理逻辑,斥之为冷冰冰的,仅仅适合于“几何人”。有趣的是帕斯卡尔也是一位数学天才,12岁时就表现出了非凡的几何才能,16岁就发表了《略论圆锥曲线》,这本小册子仅一页,但却是历史上最富有成果的书页之一。但是在他30岁时,帕斯卡尔经历了一次宗教狂喜,就放弃了科学和数学,转向神学,并写出了《乡巴佬书信》和《思想录》。

4.无穷级数

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图片来自《数学大迷思》

     
的确,逻辑是比较确定的个人性思考,数理逻辑就更强调简单和清晰,如果用于数学上是很好的,比如四维及以上维度图形的数学研究。就像《数学的语言》一书中所说,在心灵中从一个三维模型重建一个四维图形是非常困难的,要得到像超立方体等四维及以上物体的数据,你就不得不放弃可视化的企图,而最可靠的方法是使用坐标代数。当然这不只是一个智力游戏,它在现实世界有很好地应用的。像今日工业中广泛使用的计算机程序,就是这种研究的直接结果。但是,一旦把这种数理逻辑推而广之,就危险了,毕竟自然万物给我们的意象并不是简单的,清晰的,反而是丰富多彩的,里面更多的是一种审美的,诗性的韵律。而笛卡尔的方法论恰恰就是要用这种数理逻辑取代古典的语文性的文法逻辑和修辞。由此,就像苏老师所说,教育的败坏就开始了。在教育中,将一切简单清晰化,其实就是把一切美的东西剥掉了,而与之同被弃掉的还有上帝的荣耀和爱。久而久之,我们所教出的学生就成了路易斯所说的“无胸之人”。

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